MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,

Transkriptio

1 ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÙÑ Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼ Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ¾ ½¼º½ Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º½º½ Ö Ø Ø Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º½º¾ Â Ø ÙÚ Ø Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º¾ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò Ý ØÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Ø Ý Ý Ð Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ò º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ö ÚÙÙ º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º º½ Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ º º º º º º º º ¾ ½¼º È Ø ÙÙÖ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ½¼º º½ Ç ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ó Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ º º º º º ¾ ¾ ½¼º º¾ È Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º ¾ ½¼º º Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¾ ½½ È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ ¾ ½½º½ È Ø ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½º½º½ À Ö ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½º½º¾ Ì Ó ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼¼ ½½º½º Ì Ö ÒØÙÚÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾ Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º½ ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º¾ Ý Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ËÍ µ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ÐØ ¹Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ÌÝ ÒØÚÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½½º º½ È ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½½º º¾ Ì Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½½º º Å Ò Ñ Ð Ò Ò ØÝ ÒØÚÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½½º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾ ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ ¾½ ½¾º½ à ÖÚÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½¾º½º½ Æ Ô ÙÙÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º¾ Ã Ò ÖÚÓÒ ÖÓØÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º ¾

2 ¾ ËÁË ÄÌ

3 ÄÙ Ù ½½ È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X n ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x,θ)º Ø ¹ ÑÓ ÑÑ ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù θ ÓÐÐ Ò ÓØÓ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙÐÐ T º ÃÓ T ÓÒ ÓØÓ Ò ÙÒ Ø Ó ØÝ ÐÐ ÑÔ Ñ Ö ÒØ ÓÐ T(X 1,X 2,...,X n )º ÂÓ ÐÙ¹ Ø Ò ÓÖÓ Ø ØØ Ý ÓÒ Ò Ñ ÒÓÑ Ò θ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ñ Ö ØÒ ˆθ, θ Ò º À Ú ØÙ Ø ÓØÓ Ø x 1,x 2,...,x n Ð ØØÙ Ø Ñ ØØÓÖ Ò T ÖÚÓ Ñ Ö¹ ØÒ Ô Ò ÐÐ Ö Ñ ÐÐ Ð T(x 1,x 2,...,x n ) = t Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÖÚÓ ÙØ ÙØ Ò Ø Ñ Ø º Ë Ò Ò ˆθ ÓÒ Ñ Ö ÒØ Ø Ñ ØØÓÖ ÐÐ ØØ Ø Ñ Ø ÐÐ º ÇÐ ÑÑ ÐÐ Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ø Ù Ø Ø Ñ ØØÓÖ Ø º Ì Ú Ò¹ ÓÑ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ µ Ú Ö Ò Ò σ 2 Ø Ñ ØØÓÖ Ø ÓÚ Ø ÓØÓ ÖÚÓ X ÓØÓ Ú Ö Ò S 2 º ½½º½ È Ø ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÄÙÚÙ ÓÐ ÑÑ Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ø Ù Ø Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ¹ ÙÙ ÙØ Ò Ö ØØÓÑÙÙ Ñ Ò Ú Ö Ò ÙÙ Ø Ö ÒØÙÚÙÙ º Ì ÐÙ¹ ÚÙ ÓÓØ Ò Ý Ø Ò ØÝ ÒÒ ØÒ ÐÐ Ø ØØÝ ØÙÐÓ º ½½º½º½ À Ö ØØÓÑÙÙ È Ö Ñ ØÖ Ò θ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ˆθ ÝÚÝÝØØ ÓÒ ÐÙÓÒØ Ú Ñ Ø Ø Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÔÓ Ñ ˆθ θº Ì θ ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ˆθ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÈÓ Ñ Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ø ØÝ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ò ¹ Ø Ú ÑÙØØ Ò Ð ÔÓ Ñ (ˆθ θ) 2 0 Ñ ØØ ÔÓ Ñ Ò ÙÙÖÙÙØØ º Æ Ð ÔÓ Ñ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ½½º½º½µ MSE(ˆθ) = E(ˆθ θ) 2 ÓÒ Ò Ð Ú Ö º ÂÓ Ø Ñ ØØÓÖ ÐÐ ÓÒ Ô Ò Ò Ð Ú Ö Ø Ñ ØØÓÖ ÒØ ÑÖ Ò Ð ÐÐ θ ÓÐ Ú ÖÚÓ º ÅÖ Ø ÐÑ Ø ½½º½º½µ ÙÖ ÙÓÖ Ò ØØ MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2, Ñ E(ˆθ) θ ÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ˆθ Ö º ¾

4 ¼¼ ÄÙ Ù ½½º È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ ÅÖ Ø ÐÑ ½½º½ Ø Ñ ØØÓÖ ˆθ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ Ó E(ˆθ) = θ ÐÐ θ Ò ÖÚÓ ÐÐ º ÅÙÙØÓ Ò ˆθ ÓÒ Ö Ò Ò [harha(ˆθ)] 2 > 0 ÓÐÐ Ò θ Ò ÖÚÓÐÐ º ÇÐ ÑÑ Ó ÑÑ Ò Ñ Ö º Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ ÓØÓ ÖÚÓ ˆµ = X ÓØÓ Ú Ö Ò ˆσ 2 = S 2 ÓÚ Ø Ö ØØÓÑ Ø Ñ ØØÓÖ Ø º Ë Ò Ò Ñ Ö ÓØÓ Ú Ö Ò Ò Ò Ð ÙÙÖ ˆσ = S 2 ÓÒ σ Ò Ö Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ º Ñ Ö ½½º½ ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X n ÓØÓ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ø Ber(π), 0 < π < 1º ÎÓ Ò Ó π 2 Ø ÑÓ Ö ØØÓÑ Ø Ý Ò Ú ÒÒÓÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ T ÓÐ π 2 Ò Ö ØØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ º Ë ÐÐÓ Ò ½½º½º¾µ π 2 = E[T(X)] = πt(1)+(1 π)t(0) = T(0)+π[T(1) T(0)], ÐÐ π (0,1)º ÃÓ ½½º½º¾µ Ô Ø Ô Ò ÐÐ π (0,1) Ò Ò Ý ØÐ Ò ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ØÝØÝÝ π Ò ÔÓØ Ò Ò Ú Ø Ú Ò ÖØÓ Ñ Ò ÓÐÐ Ñ Øº ÌÑ ÓÒ Ñ ÓØÓÒØ ÓØ Ò π 2 Ø ÚÓ Ø ÑÓ Ö ØØÓÑ Ø Ý Ò Ú ÒÒÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÂÓ n > 1 ÚÓ ÑÑ Ó ÐÐ Ø Ñ ØØÓÖ X n 2 Ñ X n = 1 n n i=1 X i ÓÒ ÓØÓ ÖÚÓº ÌÑ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÐ Ù Ø Ò Ò Ö ØÓÒº Ë Ò Ò X n (n X n 1)/(n 1) ÓÒ π 2 Ò Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ ÙÒ n > 1º Ñ Ö ½½º¾ ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X n ÓØÓ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ø Ber(π), 0 < π < 1 ÙØ Ò Ñ Ö ½½º½º ÂÓ Ù ÐÙØ Ò Ø ÑÓ 1/πº ÄÙÓÒÒÓÐÐ ¹ Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ó ÓÒ 1/ X n = n/ n i=1 X i Ñ n i=1 X i Bin(n,π)º ÃÓ n P( X i = 0) = (1 π) n > 0, i=1 E(1/ X) = ÐÐ n 1º Ë Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÐÐ T n = n+1 n X +1 ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÑÙØØ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ö Ò Òº À Ö ØØÓÑÙÙ ÓÒ ÐÙØØ Ú ÓÑ Ò ÙÙ ÑÙØØ Ò ÓÚ Ò ÓÐ ÐÐ Ò Òº ½½º½º¾ Ì Ó ÙÙ Ö Ø Ô ÖÚ Ó Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÝÚÝÝØØ ÓÒ Ú ÖØ ÐÐ Ò Ò Ò Ð ¹ Ú Ö Øº ÇÐ ÓÓØ ˆθ 1 ˆθ 2 Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ø Ñ ØØÓÖ º Ø Ñ ØØÓÖ Ò ˆθ 1 Ø Ó ÙÙ Ù Ø Ø Ñ ØØÓÖ Ò ˆθ 2 Ø Ó ÙÙØ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù Ø Ò ½½º½º µ eff(ˆθ 1, ˆθ 2 ) = MSE(ˆθ 2 ) MSE(ˆθ 1 ) Ø ÙØ ÙØ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ù Ø ÐÐ Ø Ó ÙÙ º ÃÙÒ Ø ¹ Ñ ØØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ö ØØÓÑ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ø Ó ÙÙ ÓÒ Ú Ö Ò Ò Ù º

5 ½½º½º È Ø ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¼½ ÂÓ Ø Ñ ØØÓÖ ˆθ ÓÒ Ö ØÓÒ ÚÓ Ò Ò Ú Ö Ò ÐÐ Var(ˆθ) Ó Ø Ð ¹ Ö Ó ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ñ ØØ Ø Ù Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÝÚÝÝ ÐÐ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X ÒÓÙ ØØ ÙÑ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x;θ)º Ö Ò Ô Ø ÙÒ Ø Ó ÓÒ ½½º½º µ S(θ;x) = l(θ;x), θ Ñ l(θ;x) = logf(x;θ)º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ô Ø ÙÒ Ø ÓØ S ØÙÒÒ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ð S(θ;X) = l(θ;x). θ ÃÙÒ Ú Ø Ò X = x Ò ÙÒ Ø Ó ½½º½º µº Ö X Ò ÖÚÓ ÐÐ Ò Ò Ö ÙÒ Ø Óº Ñ Ö ½½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X N(µ,σ 2 )º Ë ÐÐÓ Ò µ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ¹ ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ σ 2 ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ú Ó µ Ë ÐÐÓ Ò l(µ;x) = 1 µ)2 2σ2(X S(µ;X) = 1 σ2(x µ). E[S(µ;X)] = E[(X µ)/σ 2 ] = 1 E(X µ) σ2 = 1 σ2[e(x) µ] = 0. [ ] 1 Var[S(µ;X)] = Var σ2(x µ) = 1 σ2 Var(X µ) = (σ 2 ) 2 (σ 2 ) = 1 2 σ 2. ÌÓ ÐØ I(µ;X) = 2 l(µ;x) = S(X;µ) µ 2 µ = 1 σ 2, ÓØ Ò Ø Ø Ô Ù Ú ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó I(µ;X) Ö ÔÙ Ú ÒÒÓ Ø Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ Ñ Ù Ò Ú ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó E[I(µ;X)] = 1 σ 2. ÀÙÓÑ ÑÑ ØØ Ô Ø ÙÙÖ Ò S(µ;X) Ú Ö Ò ÓÒ Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó Var[S(µ;X)] = E[I(µ;X)].

6 ¼¾ ÄÙ Ù ½½º È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ ÃÓ ˆµ = X ÓÒ µ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ò Var(ˆµ) = 1 E[I(µ;X)]. Ñ Ö ½½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Bin(n,θ)º Ë ÐÐÓ Ò θ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ¹ ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ô Ø ÙÒ Ø Ó l(θ;x) = X logθ +(n X)log(1 θ), 0 < θ < 1, S(θ;X) = X θ n X 1 θ = X nθ θ(1 θ). À ÐÔÓ Ø ØÓ Ø Ò ØØ E[S(θ;X)] = 0 À Ú ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ Var[S(θ; X)] = Ó Ø Ò Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó n θ(1 θ). I(θ;X) = X θ 2 + n X (1 θ) 2, E[I(θ;X)] = nθ θ 2 + n nθ (1 θ) 2 = n θ(1 θ). ÂÐÐ Ò Ô Ø ÙÙÖ Ò S(θ;X) Ú Ö Ò Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ˆθ = X/n Ú Ö Ò Ð ØØÝÚØ Ý Ø Ò ÙÖ Ú Ø Var[S(θ; X)] = E[I(θ; X)] Var(ˆθ) = 1 E[I(θ;X)]. Ñ Ö ½½º ÃÙÒ X ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Poi(µ) Ò Ò l(µ;x) = Xlogµ µ, S(µ;X) = X µ 1 2 l(µ;x) µ 2 = X µ 2. ÆÝØ I(µ;X) = X µ 2 Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ E[I(µ;X)] = E ( X µ 2 ) = E(X) µ 2 = 1 µ

7 ½½º½º È Ø ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¼ ÚÐ ØØ Ñ Ø ÚÓ Ò ÑÝ ØÓ Ø ØØ ÑÝ Var[S(µ;X)] = 1 µ. È Ö Ñ ØÖ Ò µ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ ˆµ = X ÓÒ Var(ˆµ) = 1 E[I(µ;X)] = µ. Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ ½½º½º µ I(θ) = E[I(θ;X)]. ÃÙÒ Ñ ÐÐ ÓÒ Ú ÒØÓ X = x ÚÓ Ò Ð Ú ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó I(θ;x) ÒÒ ØÙÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓÐÐ º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÒØ Ù ÓØØ Ú ÑÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓÒ ˆθ I(ˆθ;x) ÒØ Ø Ö ÙÙ Ò Ñ ÐÐ θ ÓÒ Ø ÑÓ ØÙº ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÑÖ Ö ÔÔÙÙ ØÝÝÔ ÐÐ Ø ÓØÓ Ò ÓÓ Ø Ó ÓÒ ØÖ Ò Ó Ø ÙÙÒÒ Ø ÐØ Ó ØØ Ø Ò ØÓÒ Ò ÒØ º ÒÒ Ò Ó Ø¹ Ø ÓÒ Ý ÝÐÐ Ø ÖÚ Ó Ú ÒØÓ Ò ÒØ Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÑÖº ËÙÙÒÒ Ø¹ Ø ÐÙÚ ÚÓ Ð Ú ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ó Ú ÒØÓ Ú Ð ÓÐ º Ë Ò Ò Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó ½½º½º µ ÚÓ Ò Ð º Ç ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ñ ØØ θ Ò Ø ÑÓ ÒÒ Ò ÑÖ Ø Ø Ö ÙÙØØ Ó ÚÓ Ò ÚÙØØ ØÓ Ø Ñ ÐÐ Ó ØØ Ø Ø ÑÐÐ ØÓ ØÙÚ ÓØÓ º ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X n ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ø ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÒ Ø Óµ ÓÒ f(x;θ)º ËÙÓÖ Ò Ô Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ S(θ;X 1,...,X n ) = n S(θ;X i ), i=1 Ñ S(θ;X i ) = l(θ;x i) º Î Ø Ú Ø ÓØÓ Ò X θ 1,...,X n Ô ÖÙ ØÙÚ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ó ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ØØ ÙÑÑ Ò n I(θ;X 1,...,X n ) = I(θ,X i ), Ñ I(θ;X i ) = 2 l(θ;x i ) º ÃÓ Ú ÒÒÓØ X θ 2 i, 1 i n, ÒÓÙ ØØ Ú Ø ¹ Ñ ÙÑ Ó Ò Ú ÒÒÓÒ ÒØ Ñ Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó E[I(θ,X i )] ÓÒ Ñ º Å Ö ØÒ Ý Ò Ú ÒÒÓÒ Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø ÓØ i=1 ½½º½º µ i(θ) = E[I(θ;X i )], Ñ I(θ;X i ) = 2 l(θ;x i ) º ÆÝØ ÓØÓ Ò X θ 2 1,...,X n Ô ÖÙ ØÙÚ Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ n ½½º½º µ I(θ) = E[I(θ,X i ) = ni(θ). i=1

8 ¼ ÄÙ Ù ½½º È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ö ½½º ½½º ½½º ØÓØ ÑÑ ØØ Var[S(θ;X)] = i(θ) ÓØ Ò ½½º½º µ Var[S(θ;X 1,...,X n )] = ni(θ). Ê Ð Ø Ó ½½º½º µ ÚÓ Ò ØÓ Ø ÝÐ Ø Ø ØØÝ Ò ÒÒ ÐÐ ÝÝ ØÓ Ò Ú Ð¹ Ð Ø º Ç ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÚÓ Ò Ð Ó Ó Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ½½º½º µ Ø Ô Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ö Ò Ò ½½º½º µº Ì Ú ÐÐ Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ ½½º½º µ ÓÒ Ð¹ ÔÓÑÔ Ð Ù Ò Ô Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ö Ò º Ð ÐÙÚÙ ½¼º º ØÓ Ø ØÙÒ Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ö ØØÓÑ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ú Ö Ò Ò Ð Ö º Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ö ÇÐ ÓÓÒ ˆθ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ º Ë ÐÐÓ Ò Ø ØØÝ Ò ÒÒ ÐÐ ÝÝ ØÓ Ò Ú ÐÐ Ø ½½º½º µ Var(ˆθ) 1 ni(θ), Ñ i(θ) ÓÒ Ý Ò Ú ÒÒÓÒ ÒØ Ñ Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Óº ÆÝØ ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ø Ó Ò Ð Ñ Ò Ñ Ú Ö Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ½½º¾ ÂÓ ˆθ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ Var(ˆθ) = 1 ni(θ), Ò Ò ˆθ ÓÒ θ Ò Ö ØÓÒ Ñ Ò Ñ Ú Ö Ò Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ º ½½º½º Ì Ö ÒØÙÚÙÙ Ö Ø Ñ ØØÓÖ ÐÐ Ø ØØ Ú ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ ØØ Ò Ø Ö ÙÙ Ú ÙÒ ÓØÓ Ó Ó Ú º Ì Ö Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÖÚÓØ Ó ÙÚ Ø ÙÙÖ ÐÐ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ð ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ó Ø ÖÚÓ º Ì Ö ÒØÚÙÚÙÙ ÐØ ØÑÒ ØÙ Òº Å Ö ØÒ ˆθ n = ˆθ(X 1,X 2,...,X n ) Ñ (ˆθ n ;n 1) ÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÒÓ Ñ ÓØÓ Ó Ó n = 1,2,... Ú º ÅÖ Ø ÐÑ ½½º ÌÙÒÒÙ ÐÙ Ù ˆθ n ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ø Ö ÒØÙÚ Ø Ñ ØØÓÖ Ó ÐÐ ε > 0 P( ˆθ n θ ε) 0, ÙÒ ÓØÓ Ó Ó n Ú Ö ØØ º ÅÖ Ø ÐÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ø Ñ ØØÓÖ ˆθ n ÙÔÔ Ò ØÓ ÒÒ Ýݹ Ò Ñ Ð ØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Òµ Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ θ Ð ˆθ n P θ, ÙÒ n Ú º ÄÙÚÙ 8 Ñ Ö Ä Ù º½ Ø ØØ Ò ØÓ Ø Ø ÙÔ¹ Ô Ò Ñ Ø Ó Ú ØÙÐÓ º Ä Ù Ò º½ Ó Ò Ë˽ ÑÙ Ò ˆθ n ÓÒ Ø Ö ÒØÙÚ Ó MSE(ˆθ n ) 0,

9 ½½º¾º Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ ¼ ÙÒ ÓØÓ Ó Ó n Ú Ö ØØ º ÌÑ Ø Ö ÒØÙÚÙÙ Ò ØÓ ÓÒ ÐÔÔÓ Ø Ö ¹ Ø º ÂÓ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ö ØÓÒ Ø Ö Ø Ø Ò Ñ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ú Ö ¹ Ò ÒÓÐÐ Ò ÓØÓ ÓÓÒ Ú º ÂÓ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÐ Ö ØÓÒ Ø Ö Ø ¹ Ø Ò Ð Ñ Ò ÑÝ Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ö ÒÓÐÐ Ò ÓØÓ ÓÓÒ Ú º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ø Ú ÐÐ Ø Ñ Ö Ø ÑÑ θ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ý Ò ÖØ ¹ Ø ˆθ ÙÒ Ö ÔÔÙÚÙÙØØ n Ø Ø ÖÚ Ø Ö ØÝ Ø ÓÖÓ Ø º ½½º¾ Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ã ÐÐ ÐÙÚÙ Ø ÐØ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø Ð¹ Ѻ ÄÙ ÐÐ ÓÒ ØÙØØÙ ÑÝ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ 9. ÐÙ¹ ÚÙ Ñ Ò ØØ Ò ÑÝ Ò º ÖÓ Ù Ø Ø Ø Ø Ñ ØØÓÖ Øº Ë ÙÖ Ú Ð ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ ÐÝ Ý Ø ÑÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐѺ ½½º¾º½ ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ò ÓÒ ØØ Ø Ø Ò ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÑÓÑ ÒØ Ø Ú Ø Ú Ø ÓØÓ Ò ÑÓÑ ÒØ Ø Ý Ø ÙÙÖ º ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X n ÓØÓ Ù¹ Ñ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ØØÚ ÑÖ ÑÓÑ ÒØØ º ÅÓÑ ÒØ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø ¹ Ø ÑÓ Ø Ú Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ó Ø Ñ Ö ØÒ θ 1,...,θ k º ¹ Ø ÑÓ Ø Ú Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ k ÔÔ Ð ØØ º Å Ö ØÒ ÓØÓ Ó Ø Ð ØØÙ r. ÑÓÑ ÒØØ m r ÓÒ m r = 1 n X r n i. Î Ø Ú ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ r. ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ i=1 α r = E(X r ), Ñ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x;θ 1,...,θ k ). Å Ö ØÒ ÑÓÑ ÒØØ Ø Ñ ØØÓÖ Ø θ 1,..., θ k º ÃÙÒ Ø Ø Ò ÓØÓ ÑÓ¹ Ñ ÒØ Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÑÓÑ ÒØ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ α 1 (θ 1,...,θ k ) = m 1 α 2 (θ 1,...,θ k ) = m 2 α k (θ 1,...,θ k ) = m k, Ó Ö Ø Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ 1,...,θ k Ù Ø Òº Å Ò Ø ÐÑ ÓÒ Ý Ò ÖØ ¹ Ò Ò ÒØ Ø Ö ÒØÙÚ Ø Ñ ØØÓÖ Ø º Ñ Ö ½½º ÇÐ ÓÓÒX 1,...,X n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 )º Ź Ö Ø ØÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò µ σ 2 ÑÓÑ ÒØØ Ø Ñ ØØÓÖ Øº ÃÓ ÓØÓ ÑÓÑ ÒØ Ø ÓÚ Ø m 1 = X m 2 = 1 n Xi 2 n º i=1

10 ¼ ÄÙ Ù ½½º È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ Ú Ø Ú Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÑÓÑ ÒØ Ø α 1 = µ α 2 = σ 2 +µ 2, Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ µ = X σ 2 +µ 2 = 1 n n Xi 2. i=1 Ì Ø Ö Ø Ñ ÐÐ Ò ÑÓÑ ÒØØ Ø Ñ ØØÓÖ Ø µ = X σ 2 = 1 n n Xi 2 X 2 = 1 n i=1 n (X i X) 2. i=1 ½½º¾º¾ Ý Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ý Ð Ð ØÝÑ Ø Ú Ô Ö Ñ ØÖ θ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ¹ Ò º ÌÙÒØ Ñ ØÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú ÔÚ ÖÑÙÙ Ö Ø ØÒ ÔÖ ÓÖ Ù¹ Ñ Ò π(θ) ÚÙÐÐ º ÃÙÒ Ú ÒØÓ ÓÒ ØÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÙÑ Ô Ú Ø ØÒ Ý Ò Ú Ò ÚÙÐÐ º Æ Ò Ò Ò º ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ ½½º¾º½µ π(θ x) = f(x θ)π(θ), g(x) Ñ g(x) ÓÒX Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óµº Ê ÙÒ ÙÑ Ð Ø Ò Ú ÐÐ { θf(x θ)π(θ), Ö Ø Ø Ô Ù ; g(x) = f(x θ)π(θ)dθ, Ø ÙÚ Ø Ô Ù. ÃÙÒ Ñ Ò ÑÓ Ò Ó ÓØ ØØÙ Ú Ö ØØ Ò Ò Ø ÔÔ Ó Ö µ E(b θ) 2 = (b θ) 2 π(θ x)dθ b Ò Ù Ø Ò Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÖÚÓµ b = θπ(θ x)d θ. Ý Ò Ø Ñ Ø ˆθ b Ú Ð Ø Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓº ÂÓ Ú Ð Ø Ò ØÓ Ò Ò Ø ÔÔ Ó ÙÒ Ø Ó Ô ÝØÒ Ø Ú ÐÐ Ø Ö Ø Ñ ØØÓÖ Òº Ý Ð Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ý Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ ÖØÓÑ ÐÐ ÔÖ ÓÖ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÒÒº

11 ½½º¾º Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ ¼ ½½º¾º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ËÍ µ ÓÑ Ò ÙÙ ÐÐ ÓÐ ÑÑ Ø ÐÐ Ø Ù Ø ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º Ø ÑÑ ÑÝ Ö ØØ ÓÑ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ð ¹ Ö Ò Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ù µº Ë ÙÖ Ú ØÑÑ Ú Ð ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ØÖ ÑÑØ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ Ø ÐÙ ØØ ÐÓÒÓÑ Ø º ½º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ø ÚØ ÓÐ ÚÐØØÑØØ Ö Ø¹ ØÓÑ º ÂÓ Ñ Ö X 1,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 ) Ò Ò σ 2 Ò ËÍ ˆσ 2 = 1 n n i=1 (X i X) 2 ÓÒ Ö Ò Òº Î ÓØ ÙØ ËÍ Ø ÓÚ Ø Ö ËÍ Ø ÓÚ Ø Ø Ö ÒØÙÚ ÓØ Ò ËÍ Ø ÓÚ Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ö ØØÓÑ º ¾º ÂÓ ˆθ ÓÒ θ Ò ËÍ g Ó Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ò ÐÐÓ Ò g(ˆθ) ÓÒ g(θ) Ò ËÍ º ÌÑ ÓÒ ËÍ Ò ÒÚ Ö ÒØØ ÙÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ã Ø Ó Ð ÐÙ Ù ½¼º Ä Ù ½¼º½µº ÂÓ Ñ Ö X ÓÒ θ Ò ËÍ Ò Ò X2 ÓÒ θ 2 Ò ËÍ º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f(x;θ) ØÓØ ÙØØ Ø ØÝØ ÒÒ ÐÐ ÝÝ ÓÐ ØÙ Ø θ ÐÐ ÓÒ Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ θ Ó ÚÙØØ Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ö Ò θ ÓÒ Ø Ó µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ θ Ò ËÍ ˆθ ÓÒ Ô Ø Ý ØÐ Ò S(θ) = 0 Ö Ø Ùº Ë ÐÐÓ Ò θ = ˆθº ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÙÙÖ Ñ¹ Ñ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ø ÚØ ÓÐ Ø Ó Ø º ÃÙ Ø Ò Ò Ó Ø Ó Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÒ ËÍ º º ÃÙÒ f(x;θ) ØÓØ ÙØØ Ø ØÝØ ÒÒ ÐÐ ÝÝ ÓÐ ØÙ Ø Ò Ò ÓØÓ Ò X 1,...,X n Ô ÖÙ ØÙÚ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ ˆθ n ÒÓÙ ØØ ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ θ Ú Ö Ò ÓÒ 1/I(θ)º ÂÓ n Ò Ò ½½º¾º¾µ ˆθn N(θ, 1 I(θ) ). ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ I(θ) = ni(θ) Ñ i(θ) ÓÒ Ý Ò Ú ÒÒÓÒ Ò¹ Ø Ñ Ò ÓÖÑ Ø Óº ÌÙÐÓ Ò ½½º¾º¾µ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÑÓÒ Ø ÙÙÖØ Ò ÓØÓ ¹ Ø Ò Ø Ø Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÚРغ ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ˆθ n ÝÑÔØÓÓØØ Ò Ò Ú Ö Ò ÚÙØØ Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ö Òº ËÍ ˆθ n ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ó Ø Ñ ØØÓÖ º Ê ØØÚÒ ÙÙÖ ÐÐ ÓØÓ ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÓÒ ÝÚ ˆθ n Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓº ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÙÖ Ú Ø ØÙÐÓ Ø Ô ØÚØ Ô Ò I(θ)(ˆθn θ) I(θ)(ˆθn θ) I(ˆθ n )(ˆθ n θ) I(ˆθ n )(ˆθ n θ) d N(0,1) d N(0,1) d N(0,1) d N(0,1).

12 ¼ ÄÙ Ù ½½º È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ Ã Ú Ñ Ø ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø ÝØÒÒ ØÖ ÑÑØ Ò Ø Ö Ó ØØ Ú Ø Ø ØØ ÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ ½½º¾º µ ½½º¾º µ 1 ˆθ n N(θ, I(ˆθ n ) ) 1 ˆθ n N(θ, I(ˆθ n ) ). ÇÒ ÙÓ Ø ÐØ Ú ÝØØ ˆθ n Ò Ú Ö Ò Ò Ø Ñ ØØ Ò Ð Ù ØØ 1/I(ˆθ n )º Ì ¹ Ú ÐÐ Ø Ù Ø Ò Ò ØØ Ð ÑÑÑ ÙÑ Ø ÙÙÐÙÚ Ø ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Ò ÐÐÓ Ò I(ˆθ n ) = I(ˆθ n ) ½½º ÐØ ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÅÖ Ø ÐÑ ½½º ÙÒ Ø ÓÒg(x) rº Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ô Ø a ÓÒ ½½º º½µ T r (x) = g(a)+g (a)(x a)+ g (a) 2! Ñ g (r) (x) = dr dx r g(x) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ g(x) rº Ö Ú ØØ º Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÑÙ Ò (x a) g(r) (a) (x a) r, r! ½½º º¾µ g(x) T r (x) lim = 0, x a (x a) r Ó g (r) (a) ÓÒ ÓÐ Ñ º ÙÒ Ø Ó g(x) ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ô Ø Ò x = a ÝÑÔÖ ¹ Ø ÑÙÓ Ó g(x) = T r (x)+r r+1 (x), Ñ R r+1 (x) = g(x) T r (x) ÓÒ ÒÒ Ø ÖÑ Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ ½½º º¾º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ E(X) = µ 0º ÂÓ Ø ÑÓ Ò ÙÒ Ø ÓØ g(µ) Ò Ò Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ô ÖÙ ¹ ØÙÚ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ð ÖÚÓ Ô Ø µ ÓÒ ½½º º µ g(x) g(µ)+g (µ)(x µ). ÂÓ ÝØ ØÒ g(µ) Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÙÒ Ø ÓØ g(x) Ò Ò E[g(X)] g(µ) Var[g(X)] = [g (µ)] 2 Var(X). Ñ Ö ½½º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ E(X) = µ 0 ÙÒ Ø ÓÒ g(µ) = 1/µ Ø ÑÓ ÒØ º ÇÐ ÓÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ Ò 1/Xº Ë ÐÐÓ Ò ÐÐ Ò ÑÙ Ò ( ) 1 E 1 X µ

13 ½½º º ÐØ ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ¼ ( ) 1 Var X ( ) 4 1 Var(X). µ Ä Ù ½½º½ ÐØ ¹Ñ Ò Ø Ðѵ ÇÐ ÓÓÒ {X n } ÐÐ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ò ÓÒÓ ØØ n(x n θ) Ð Ò ÙÑ Ñ Ð ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,σ 2 )º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÒÒ ØÙÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ g ÓÒ ÑÖØÝÐÐ ÖÚÓÐÐ θ Ö Ú ØØ g (θ) 0º Ë ÐÐÓ Ò n[g(xn ) g(θ)] N ( 0,σ 2 [g (θ)] 2) ÙÑ Ñ Ð º Ñ Ö ½½º ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X n ÓØÓ ÙÑ Ø Ber(p)º ÇÒÒ ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò p Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ø ˆp = 1 n n i=1 X iº ÇÒÒ ØÙÑ ¹ Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ó µ p/(1 p) ÓÒ Ú ÓÒÐÝ ÒÒ Ó Ø Ø Ø Ú Ò¹ ÓÑ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ º ÎÓ ÑÑ ÝØØ p/(1 p) Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ˆp Ò ÙÒ Ø ÓØ ˆp/(1 ˆp)º Å Ø ÚÓ ÑÑ ÒÓ ØÑÒ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÆÝØ ¹ Ø ÑÓ Ò ÙÒ Ø ÓØ g(p) = p/(1 p)º ÃÓ g (p) = 1/(1 p) 2 Ò Ò Ð Ù Ò ½½º º ÑÙ Ò ( ) ˆp Var [g (p)] 2 Var(ˆp) 1 ˆp [ = 1 (1 p) 2 ] 2 p(1 p) n = p n(1 p) 3. Ä Ù ½½º½ ÓÐ Ø ØØ Ò ØØ d n(x n θ) Z N(0,σ 2 )º Í Ò Ú Ö ¹ Ò Ö ÔÔÙÙ θ Ø Ð σ 2 = σ 2 (θ)º Ë ÐÐÓ Ò Ð Ù Ò ½½º½ ÑÙ Ò d n[g(xn ) g(θ)] N(0,σ 2 (θ)[g (θ)] 2 ). ÂÓ Ñ ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ÓØÓ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ø Poi(λ) Ò Ò d n( Xn λ) N(0,λ). Ñ Ö ½½º ÐÐ Ñ Ò ØÙÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ò Ø Ô Ù θ = λ σ(θ) = λº ÅÖ Ø ØÒ ÑÙÙÒÒÓ g(λ) Ø Ò ØØ g( X n ) Ò Ú Ö Ò ÓÒ Ú Óº ÇÐ ÓÓÒ c Ú Ó Ú Ð Ø Ò g Ø Ò ØØ σ 2 (θ)[g (θ)] 2 = c 2 Ð g (λ) = c σ(λ). Ë ÐÐÓ Ò g(λ) = 2c λ Ú Ð Ø Ñ ÐÐ c = 1/2 Ò g(λ) = λ n( Xn λ) d N(0,1), 1/2 Ñ σ 2 (λ)[g (λ)] 2 = c 2 = 1 4. ÆÝØ Xn ÒÓÙ ØØ ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N( λ, 1 4n )º

14 ½¼ ÄÙ Ù ½½º È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ ½½º ½½º º½ ÌÝ ÒØÚÝÝ È ÖÙ Ö Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ý ÝÑÝ ÓÒ ÚÓ Ò Ó Ú ÒÒÓØ ÓÖ¹ Ú Ø ÓÐÐ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙÐÐ Ñ Ò ØØÑØØ ÓÐ ÐÐ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ º ÌÝ Ò¹ ØÚÝÝ Ò Ø Ö ½ ¾¾µ ÐÙÓÒÒ Ø Ú ÒØÓ Ò ÐØÝÚÒ Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú ÒØ Ø Ø Ú Ø º È Ö Ñ ØÖ Ò θ Ø Ñ ØØ T(x) ÓÒ ØÝ ÒØÚ Ó ÐØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÌÝ Ò¹ ØÚÝÝØØ Ó Ú Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÓÒ ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø Ú Ø Ø Ò Ò Ú ÒØÓ Ò ÒØ Ñ Ò Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÅÖ Ø ÐÑ ½½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X 1,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ø ¹ Ý ÙÒ Ø Ó Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óµ ÓÒ f(x;θ)º ÇÐ ÓÓÒ t(x 1,...,x n ) ¹ Ú ÒØÓ Ò x 1,...,x n ÙÒ Ø Ó Ó Ö ÔÙ θ Ø µ t(x 1,...,X n ) ÓÒ Ú Ø Ú ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÙÒ Ø Ó T = t(x 1,...,X n ) ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù Ó ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1,...,X n ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ ÓÐÐ T = t Ö ÔÙ θ Ø º ÁÒØÙ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ X Ò ÖÚÓØ ÚÓ Ò Ò ÖÓ ¹ X Ò ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø f(x T = t;θ) Ó ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ Ö ÔÙ θ Ø º ÓÐ Ñ Ð Ø Ñ Ö Ú ØØ ØØ ÓØÓ ÖÚÓ ÓÒ ÔÓÔÙ¹ Ð Ø ÓÒ ÖÚÓÒ ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ùº Í Ò Ò Ò ÓÒ ÑÙØØ Ú ØØ Ò ØÓ ÒÔ Ö ÝÝ Ö ÔÔÙÙ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø f(x;θ)º Ñ Ö ½½º½¼ ÇÐ ÓÓÒX 1,...,X n ÓØÓ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ø Poi(θ)º Ë Ð¹ ÐÓ Ò T(X 1,...,X n ) = X i ÓÒ θ Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ùº ÆÝØ ØÒ ØØ ÓØÓ Ò X 1,...,X n ÙÑ Ö ÔÙ θ Ø ÙÒ T = t ÓÒ ÒÒ ØØÙº ÀÙÓÑ Ø¹ Ø ÓÓÒ ØØ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ T ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Poi(nθ)º À Ú ÒØÓ Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ T = t ÓÒ P(X 1 = x 1,...,X n = x n T = t) = P(X 1 = x 1,...,X n = x n,t = t) P(T = t) = P(X 1 = x 1,...,X n = x n ) P(T = t) = e nθ θ x i / x i! e nθ (nθ) t /t! = t! ( ) xi 1, xi! n ÐÐ x 1,...,x n Ó ÐÐ x i = t ÑÙÙØÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÒÓÐÐ º ¹ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÙ θ Ø ÓØ Ò T ÓÒ θ Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ¹ ÐÙ Ùº ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÑÝ Ó Ò Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙÒ t = x i Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù ÓÒ θ Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ùº

15 ½½º º ÌÝ ÒØÚÝÝ ½½ Ñ Ö ½½º½½ ÃÓÒ ÐÐ Ø Ò n ØÙÓØ ØØ º ÌÙÓØ ÓÒ ÝÚ ÝØØÚ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÐÐ θ Ú ÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 1 θº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö ØÙÓØØ Ò Ð ÙÒ ÚÐ ÐÐ ÓÐ Ö ÔÔÙÚÙÙØØ º ÇÐ ÓÓÒ X i = 1 Ó ØÙÓØ ÓÒ ÝÚ ÝØØÚ X i = 0 ÑÙÙØÓ Òº Ì Ò n Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó ØØ ½½º º½µ P(X 1 = x 1,...,X n = x n ) = θ t (1 θ) n t, Ñ x i ÖÚÓÒ 0 Ø 1 t = x i º ÇØÓ Ò X 1,...,X n ÓÐÐ Ò Ò Ù¹ Ñ ÓÐÐ T = X i = t ÓÒ f(x 1,...,x n t) = P(X 1 = x 1,...,X n = x n,t = t) ( n ) θt (1 θ) t n t = θt (1 θ) ( n t n ) θt (1 θ) = ( 1 t n t n t), Ó Ö ÔÙ θ Ø º T ÓÒ ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ùº ½½º º¾ Ì Ð Ù ÌÝ ÒØÚÝÝ ÓÒ Ý ÝÐÐ Ò Ò Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Ø Ú ¹ ØÑ Øº Ì Ú Ø ØÒ Ñ Ö Ú ÒÒÓØ x 1,...,x n ØÙÒÒÙ ÐÙ ÙÙÒ xº à ¹ ÖÚÓÒ x ØÙÒØ Ñ Ò Ò Ù Ø Ò Ò Ö Ø ØÝ ÒØÚÝÝ Ò ØÓØ Ñ Ú Ò ÓÒ ÑÝ Ø ØØÚ Ñ Ø ÙÑ Ø Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø Ô Ö Òº ÌÙÒÒÙ ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÝ ÒØÚÝ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò Ô ÖÙ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ ÓÒ Ù Ò Ò Ð º Í ÑÑ Ø Ò ÐÔÓÑÔ Ø Ô ÓÒ ÝØØ Ò º Ø Ð Ù ØØ º Ä Ù ½½º¾ ÌÙÒÒÙ ÐÙ Ù t(x 1,...,x n ) ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ¹ Ù Ó Ú Ò Ó Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óµ f(x 1,...,x n ;θ) ÚÓ Ò ØØ Ø ÑÙÓ Ó f(x 1,...,x n ;θ) = g(t(x 1,...,x n ),θ)h(x 1,...,x n ), Ñ h(x 1,...,x n ) Ö ÔÙ θ Ø º Ñ Ö ½½º½¾ ÇÐ ÓÓÒ x 1,...,x n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð Ù Ø N(µ,σ 2 ) Ñ Ö¹ ØÒ θ = (µ,σ 2 )º ÇØÓ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ { f(x 1,...,x n ;µ,σ 2 ) = (2πσ 2 ) n/2 exp 1 } (xi µ) 2 2σ 2 = (2πσ 2 ) n/2 exp Ì Ð Ù Ø ½½º¾ ÙÖ Ú Ø ÒÝØ ØÙÐÓ Ø { x 2 i 2σ 2 + µ xi nµ2 σ 2 2σ 2 ½º ÂÓ σ 2 ØÙÒÒ Ø Ò Ò Ò x i ÓÒ µ Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù µ ØÙÒØ Ñ ¹ ØÓÒµ }.

16 ½¾ ÄÙ Ù ½½º È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ ¾º ÂÓ µ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Ò (x i µ) 2 ÓÒ σ 2 Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù σ 2 ØÙÒØ Ñ ØÓÒµ º ÂÓ θ = (µ,σ 2 ) ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ò Ò ( x i, x 2 i ) ÓÒ θ Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ ÙÔ Ö º ½½º º Å Ò Ñ Ð Ò Ò ØÝ ÒØÚÝÝ ÂÓ x 1,...,x n ÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,1) ÐÐÓ Ò Ñ Ö x i x ÓÚ Ø µ Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù º ÅÝ ÐÙ ÙÔ Ö ( m i=1 x i, n i=m+1 x i) Ö ØÝ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó (x (1),...,x (n) ) ÓÚ Ø µ Ò Ù Ø Ò ØÝ ÒØÚ º ÀÙÓÑ ØØ x ÓÒ ÑÙ Ò ØÝ ÒØÚ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù Ò ÙÒ Ø Óº ÌÓ ÐØ Ñ Ö Ö ØÝ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó (x (1),...,x (n) ) ÓÐ x Ò ÙÒ Ø Óº Ë ÓÒ Ý ÝÐÐ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò º Ñ Ò Ñ Ð Ò ØÝ ÒØÚÝÝ Ò Ø Øغ ÁÒØÙ Ø Ú Ø ÐÙÓÒÒ Ø Ò Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù Ø Ú Ø Ò¹ ÓÖÑ Ø ÓØ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ò ØØ Ñ ØÒ ÓÐ ÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ñ Ò Ø Øº ÅÖ Ø ÐÑ ½½º ÌÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù T = t(x 1,...,X n ) ÓÒ Ñ Ò Ñ ¹ Ð Ø ØÝ ÒØÚ Ó ÓÒ ØÝ ÒØÚ Ó Ø ØÓ Ø ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ¹ ÐÙ Ù V Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó g ØØ T = g(v)º ÌÙÒÒÙ ÐÙ Ù ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚ Ó Ú ÒØÓ Ò ØÓ ÚÓ ¹ Ø Ú Ø Ò ÑÔº ÂÓ ØÝ ÒØÚÒ ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙÒ Ñ Ò Ó ÓÒ Ñ Ù Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ Ò Ñ Ò Ó Ò Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚº Ñ Ö ½½º½ Â Ø Ø Ò Ñ Ö ½½º½½ Ó Ó Ø Ø Ò ØØ t = x i ÓÒ θ Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù ÙÒ ÓØÓ x 1,...,x n ÓÒ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ø Ber(θ)º ÇÐ ÓÓÒ s = s(x 1,...,x n ) Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò θ Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ¹ ÐÙ Ùº Ë ÐÐÓ Ò Ì Ð Ù Ò ½½º¾µ ÒÓ ÐÐ f(x 1,...,x n ;θ) = g(s,θ)h(x 1,...,x n ). ØÑÐÐ ØÑ ØÙÐÓ Ò ½½º º½µ ÙÓÑ ÑÑ ØØ θ t (1 θ) n t = g(s,θ)h(x 1,...,x n ) ÐÐ θ Ò ÖÚÓ ÐÐ º ÆÝØ Ñ ÐÐ Ø Ò ÒÒ ØÙ ÐÐ θ Ò ÖÚÓ ÐÐ θ 1 θ 2 ÙÑÑ ÐÐ Ò ÔÙÓÐ ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø ØÙØ Ù Ø Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø (θ 1 /θ 2 ) t [(1 θ 1 )/(1 θ 2 )] n t = g(s,θ 1) g(s,θ 2 ). ÂÓ Ö ØÝ Ø Ú Ð Ø Ò θ 1 = 2/3 θ 2 = 1/3 ÓØ Ø Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ø Ò t = 1 2log2 log 2n g(s,2/3) g(s,1/3).

17 ½½º º ÌÝ ÒØÚÝÝ ½ Ì Ø Ò Ò ØØ t ÓÒ s Ò ÙÒ Ø Ó ÓØ Ò t ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚº Ñ Ö ½½º½ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ x 1,...,x n ÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,1)º Ë ÐÐÓ Ò Ø Ð Ù Ò ½½º¾ ÒÓ ÐÐ x ÓÒ µ Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ùº À Ú ÒØÓ Ò x 1,...,x n Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó L(µ;x 1,...,x n ) = ( 1 2π ) n exp { 1 } (xi µ) 2. 2 Ì Ø Ò logl(θ;x 1,...,x n ) = n 2 log(2π) 1 2 = Ú Ó n 2 (x µ)2, (xi x) 2 n 2 (x µ)2 ÓØ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ö ÔÔÙÙ Ú ÒÒÓ Ø Ú Ò ÓØÓ ÖÚÓÒ x ÙØØ º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ú Ò ÓØÓ ÖÚÓ ÓÐ Ö ØØÙº ÃÓ X N(1,1/n) Ò Ò Ú ÒØÓÓÒ x Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ L(µ;x) = 1 exp { n } 2π/n 2 (x µ)2, Ø Ú Ø Ú Ø logl(µ;x) = Ú Ó n 2 (x µ)2. Æ Ò Ó Ó Ò ØÓÓÒ x 1,...,x n Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÓÒ Ñ Ù Ò ÓØÓ ÖÚÓÓÒ x Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ º ÐÐ Ñ Ö Ø ØØÝ ØÙÐÓ Ø Ú Ø Ú ØÙÐÓ Ó ØÝ ¹ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù º ÂÓ t ÓÒ Ó Ò Ú ÒØÓ Ò x 1,...,x n ÙÒ Ø Ó Ò Ò Ú ÒØÓ Ò x 1,...,x n Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÓÒ Ñ Ù Ò Ú ÒØÓ Ò x 1,...,x n t Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ º ÂÓ t ÓÒ ØÝ ÒØÚ Ò Ò ½½º º¾µ L(θ;x 1,...,x n ) =L(θ;x 1,...,x n,t) = f(x 1,...,x n,t;θ) =f(t;θ)f(x 1,...,x n t) =Ú Ó f(t;θ) =Ú Ó L(θ;t), Ñ Ø Ö Ó ØØ ØØ L(θ;x 1,...,x n ) ÚÓ Ò Ð Ô Ð ØÒ t Ò ÚÙÐÐ º Ñ Ö ½½º½ ÒÝØ ØØ Ò Ñ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒf θ (x 1,...,x n ) ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ θ Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚº Å Ö ØÒ ÒÝØ ÐÝ Ý Ø (x 1,...,x n ) = x (X 1,...,X n ) = Xº ÂÓ Ø ÒÒ ØØÙ Ú ÒØÓÚ ØÓÖ x ÓØÓ Ø µ Ú Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó L Ø Ò ØØ L x (θ) = f(x;θ), θ Θ.

18 ½ ÄÙ Ù ½½º È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ L x ÓÒ ÙÚ Ù ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÐØ S X X Ò ÖÚÓ ÓÙ Óµ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒØ Ó¹ Ò ÓÙ ÓÓÒ L = {L x : θ f(x;θ), x S X }. ÌÑ ÓÒ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù ÓÒ ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÙÒ Ø Ó Ø º ÂÓ X = x Ò Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ¹ Ù L ÖÚÓÒ L x º ÂÓ X ÓÒ Ö ØØ Ò Ò ÒÒ ØÙÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓÐÐ L x (θ) ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ú Ø Ò xº Â Ø ÙÚ Ø Ô Ù L x (θ) ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØ Ò ØØ Ú ÒØÓ ØØÙÙ Ô Ò Ò x Ò ¹ ÐØÚÒ ÙÓÖ Ø Òº ÃÙÒ ØØ Ð ÑÑ θ Ò ÙÒ Ø ÓØ L x (θ) ÒØ Ò θ Ò ÖÚÓ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò ÙÒ ÓÒ Ú ØØÙ xº Ñ Ö ½½º½ Â Ø Ø Ò Ñ Ö ½½º½¾º Å ÐÐ ÓÒ ÓØÓ x 1,...,x n ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 )º à ÙÐÓØØ Ò Ò ØÙÒÒÙ Ú ØÓÖ t = (t 1,t 2 ) = ( x i, x 2 i) ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ú ØÓÖ Ò (µ,σ 2 ) ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ Ú ØÓÖ º ÃÙÒ Ñ Ö ØÒ θ = (θ 1,θ 2 ) = (µ,σ 2 ) Ò { } { L x (θ) = (2πθ 2 ) n/2 exp nθ2 1 exp 1 } (t 2 2θ 1 t 1 ). 2θ 2 2θ 2 ÆÝØ θ Ò ÙÒ Ø ÓÒ L x ( ) ÑÖ ØØ ØÙÒÒÙ Ú ØÓÖ Ò (t 1,t 2 ) Ó Ñ Ö t 2 = 2logL x (0,1) nlog2π Ú Ø Ú Ø t 1 ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÚ L x (0,1) Ò L x (1,1) Ò ÚÙÐÐ º Æ Ò Ù Óع Ø ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó L ÓÒ Ý ØÔ ØÚ ØÙÒÒÙ Ú ØÓÖ Ò (t 1,t 2 ) Ò ÓØ Ò L ÓÒ ØÝ ¹ ÒØÚº ÈØØ Ð ÑÐÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò Ñ Ö ½½º½ ÚÓ Ò Ó Ó Ø¹ Ø ØØ (t 1,t 2 ) L ÓÚ Ø Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚ º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÓÒ L x ( ) Ð Ø Ð ØØÝÚ ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ ØØ ¹ Ð ÑÐÐ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù ½½º º µ t(x) = L x( ) L x (θ 0 ), Ñ θ 0 ÓÒ ÐÐ Ò Ò θ Ò ÖÚÓ ØØ L x (θ 0 ) > 0º Ì Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÒÝØØ ØØ t(x) ÓÒ ØÝ ÒØÚ ÙÒ Ð Ù Ñ Ö ØÒ g(t,θ) = L x(θ) L x (θ 0 ) h(x) = L x (θ 0 )º ËÙÙÖ ½½º º µ ÓÒ θ Ò θ 0 Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù º ÐÐ Ó Ó Ø ØØ Ò ÒØ Ø ØØ ½½º º¾µµ ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ô Ð ØÒ ØÙÒÙ ÐÙÚÙÒ t ÚÙÐÐ Ó t ÓÒ ØÝ ÒØÚº ÇÐ Ô t Ñ Ø Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù L x ( ) ÚÓ Ò Ð Ù Ù t Ò ÙÒ Ø ÓÒ º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚº

19 ½½º º ÌÝ ÒØÚÝÝ ½ Ä Ù ½½º ÂÓ t ÓÒ θ Ò ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù Ò Ò θ Ò Ó Ó Ò ØÓÓÒ x 1,...,x n Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÓÒ Ñ Ù Ò Ô Ð ØÒ ØÙÒÒÙ ÐÙ ÙÙÒ t Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ º Ë Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ Òع Úº ÇÒ ÝÝØ ÑÙ Ø ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ñ Ø Ó Ò ÓÚ Ø Ú ÖÖ ÒÒÓÐРغ Ä Ù Ø ½½º ÙÖ ØØ Ñ Ø Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚº Ñ Ö ½½º½ ÇÐ ÓÓÒ x 1,...,x n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,1)º Ë Ð¹ ÐÓ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó L(µ;x 1,...,x n ) = Ú Ó exp[ n 2 (x µ)2 ] ÓÒ ÓØÓ ÖÚÓÒx Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù º ÂÓ Ñ ÐÐ ÓÒ Ö ÓØÓ Ø x 1,...,x n y 1,...,y n Ò Ò L(µ;x 1,...,x n ) = Ú Ó L(µ;y 1,...,y n ) Ó Ú Ò Ó x = y. ÌÑ Ó Ó Ø ØØ x ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚº Î Ø Ú ÒÐ ÐÐ Ôع Ø ÐÝÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ (x,s 2 ) ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ú ØÓÖ Ò (µ,σ 2 ) Ñ Ò Ñ ¹ Ð Ø ØÝ ÒØÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ ÙÔ Ö ÙÒ Ó ØÓ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 ) s 2 ÓÒ ÓØÓ Ú Ö Ò º ÅÓÒÓØÓÒ Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù Å Ò Ñ Ð Ò Ò ØÝ ÒØÚÝÝ ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ò t(x) = L x( ) L x (θ 0 ) ÚÙÐÐ º ÃÓ t(x) ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù ÓÒ Ñ Ò ¹ Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚº Å ÐÐ Ø Ò θ Ò ÖÚÓ Ò θ 0 θ 1 ÐÐ ÐÐ Ú Ð ÒÒÓ Ð¹ Ð ØØ L x (θ 0 ) > 0 Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù L x (θ 1 )/L x (θ 0 ) ÓÒ t(x) Ò Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù º ÂÓ t(x) ÓÒ Ð Ö ÓÑ Ò ÙÙØØ ÙØ ÙØ Ñ ÑÓÒÓØÓÒ Ù Óع Ø ÚÙÙ Ù Ø º ÃÙÒ θ 1 Ð ØÝÝ θ 0 Ò Ò L x (θ 1 ) L x (θ 0 ) L x(θ 0 )+L x(θ 0 )(θ 1 θ 0 ) L x (θ 0 ) =1+ logl x(θ 0 ) (θ 1 θ 0 ). θ 0 ÌÑ Ó Ó ØØ ØØt(x) ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚ Ó Ô Ø ÙÙÖ loglx(θ 0) θ 0 ÓÒ t(x) Ò Ø Ú Ò Ò ÙÒ Ø Óº

20 ½ ÄÙ Ù ½½º È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ ½½º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ô Ö ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò ÙÑ Ô Ö Ò ÙÙÐÙÚ Ø Ù ÑÑ Ø Ø Ú ÐÐ ÑÑ Ø ¹ ÙÑ Ø ÙØ Ò ÒÓÖÑ Ð ¹ ÒÓÑ ¹ ÑÑ ÙÑ Ø ÈÓ ÓÒ Ò Ù¹ Ñ º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Ò ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ø ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÒ Ø Óµ ÓÒ ÑÙÓØÓ ½½º º½µ f(x;θ) = exp[t(x)η(θ) A(θ)+c(x)], ÙÒ x S Ñ ÖÚÓ ÐÙ S Ö ÔÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº ÙÒ Ø ÓØ η( ),t( ),A( ) c( ) ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ º È Ö Ñ ØÖ η( ) ÙØ ÙØ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù t( ) ÐÙÓÒÒÓÐÐ ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙ º Ð Ò p¹ô Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Ò ÙÙÐÙÚ Ò Ù¹ Ñ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óµ ÓÒ ÑÙÓØÓ ½½º º¾µ logf(x;θ) = p η i (θ)t i (x) A(θ)+c(x), i=1 Ñ θ = (θ 1,...,θ p ) A(θ),c(x),η i (θ) T i (x) ÓÚ Ø ØÙÒÒ ØØÙ ÙÒ Ø Ó ¹ Ø º Ä ÑÙÙØØÙ Ò x ÖÚÓ ÐÙ Ö ÔÙ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº È Ö Ñ ØÖ η i ÙØ ÙØ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù T i (x) ÐÙÓÒÒÓÐÐ ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙ º ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø η i ÚØ ÓÐ ÒÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ ÚØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ T i (x) ÒÒº ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ T i (x) ÓÚ Ø Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚ º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ô Ö ÓÒ ØÝ Ø Ò Ò Ó ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ú ÖÙÙ ÐØ ÚÓ Ñ Ò ÓÙ ÓÒº Ñ Ö 2¹ÙÐÓØØ Ò Ò Ò Ð 2¹ÙÐÓØØ ¾ µ Ù Ð Ú ÖÙÙ ÐØ ÚÓ Ñ Ò ÓÙ ÓÒ ÑÙØØ Ñ Ö ÙÓÖ ¾ ¹ Ú ÖÙÙ ÐÐ ÚÓ ÒØ ÓÙ Ó º ÌÝÝÔ ÐÐ Ø ÔÓÒ ÒØ Ð ¹ Ò Ò Ô Ö ÓÒ ØÝ Ø Ò Ò Ó ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ñ Ù Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÂÓ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ö ÔÔÙÚÙÙ Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ØÝ ÒØÚ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ú Ô Ø¹ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÐÐÓ Ò ÔÓÒ ÒØ Ð Ø Ô Ö ØØ ÙØ ÙØ Ò Ö ÙØÙÚ º ÅÓÒ Ø Ø ÓÖ Ø Ø ØÙÐÓ Ø Ô ØÚØ Ô Ò Ú Ò ØÝ Ø ¹ Ñ ÐÐ º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ô Ö ÐØ Ø ÙÚ Ò ØØ Ö Ø¹ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ º ÃÙØ Ò Ó ÐÐ Ñ Ò ØØ Ò ÒÓÖÑ Ð ¹ ÒÓÑ ¹ ÑÑ ÙÑ ÙÙÐÙÚ Ø ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Ò ÙÒ Ø Ù ÝÒ ÙÑ t¹ ÙÑ ÚØ ÙÙÐÙº Ñ Ö ½½º½ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(θ) Ñ θ = (µ,σ 2 ) ÑÓÐ ÑÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ º Ë ÐÐÓ Ò ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÐÓ Ö ØÑ ÓÒ logf(x;µ,σ 2 ) = µx σ 2 x2 2σ 2 µ2 2σ log(2πσ2 ).

21 ½½º º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ô Ö ½ ÌÑ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÓÒ ØÝ Ø Ò Ò ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Ò Ñ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø η 1 = µ η σ 2 2 = 1 ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ØÙÒ¹ 2σ 2 ÒÙ ÐÙÚÙØ t 1 (x) = x t 2 (x) = x 2 º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X N(θ) Ú Ö Ø Ó ÖÖÓ Ò ÓÒ ØÙÒÒ ØØÙ Ú Ó a = σ/µ Ñ µ > 0º Ë ÐÐÓ Ò N(µ,a 2 µ 2 ) ÙÙÐÙÙ Ö ÙØÙ¹ Ú Ò ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Òº Î Ñ ÐÐ ÓÒ Ú Ò Ý ØÙÒ Ñ ØÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ t 1 (x) = x t 2 (x) = x 2 ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚ º Ñ Ö ½½º½ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ò Poi(µ) Ø Ô Ù ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÓ Ö ØÑ ÓÒ logf(x;µ) = xlogµ µ logx!. Ë Poi(µ) ÓÒ ØÝ Ø Ò Ò Ý Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Ò Ñ ÐÐ º ÂÓ X ÒÓÙ ØØ ÐÐ Ø ØÝÔ Ø ØØÝ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ØØ ÖÚÓ X = 0 Ú Ø Ò Ò ÖÚÓ Ò x = 1,2,... ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø ÓØ Ò f µ (x) = e µ µ x /x! 1 e µ, logf(x;µ) = xlogµ µ log(1 e µ ) logx!. ÌÑ ÓÒ ÑÝ Ý Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Ò Ñ ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ñ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù ÑÙØØ ÙÒ Ø Ó A(µ) ÓÒ ÑÙÙØØÙÙº ÂÓ X 1,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Ò ÙÑ Ø Ò Ò ÓØÓ ¹ Ò Ý Ø ÙÑ ÙÙÐÙÙ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Òº ÇÐ ÓÓÒ x 1,...,x n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 ) Ò Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÐÓ ¹ Ö ØÑ ÓÒ logf(x 1,...,x n ;µ,σ 2 ) = µ i x i σ 2 i x2 i 2σ 2 nµ2 2σ 2 n 2 log(2πσ2 ). Ì ÙÑ ÐÐ ÓÒ Ñ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Øη 1 = µ σ 2 η 2 = 1 2σ 2 Ù Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÐÐ Ñ Ö ½½º½ º Ø ÙÑ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ØÙÒÒÙ ¹ ÐÙÚÙØ ÓÚ Ø t 1 (x 1,...,x n ) = i x i t 2 (x 1,...,x n ) = i x2 i º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ð ÑÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ A(η) ÖÓÓÐ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö¹ Ò ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ»ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ù º ÇÐ Ø ¹ Ø Ò ØØ X ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ exp[c(x)] ÑÓ¹ Ñ ÒØØ ÙÒ Ø Ó M(η) = E(e ηx ). ÇÐ ÓÓÒ A(η) logm(η) ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÙÑÙÐ ÒØØ Ò ÖÓ Ú ÙÒ ¹ Ø Ó º Ë ÐÐÓ Ò e ηx+c(x) dx = e A(η)

22 ½ ÄÙ Ù ½½º È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ Ø ÐÐ ηº Æ Ò ÙÒ Ø Ó e ηx A(η)+c(x) dx = 1 ½½º º µ f(x;η) = e ηx A(η)+c(x) ÑÖ ØØ Ð ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Ò ÙÙÐÙÚ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ Ø ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒµº ÌØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ¹ ÔÓÒ ÒØØ ÒÒ º Ð ÙÔ Ö Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ð ØØÝÝ ÖÚÓÓÒ η = 0º ÂÓ ÐÐ ÑÙÓØÓ ½½º º µ ÓÐ Ú ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÔØ ØØ µ = E(X;η) = A (η) Var(X;η) = A (η) = E(X;η) = v(µ). η Ë A(η) ÑÖ ØØ Ð Ø ØÝÒ Ý Ø Ý Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ú Ö Ò Ò ÚÐ ÐÐ º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò ÓÒØ Ñ ÐÐ ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ φ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ ½½º º µ logl(θ,φ) = xθ A(θ) φ +c(x,φ), Ñ A(θ) c(x,φ) ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ ÙÒ Ø Ó Ø º Ì ØÝ ÑÙÓ Ó Ô ¹ Ö Ñ ØÖ θ ÙØ ÙØ Ò ÒÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ φ Ø ÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ º Î Ð Ø Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓØ A(θ) c(x,φ) Ö Ø ÚÓ Ò Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ º ÂÓ X ÓÒ Ö ØØ Ò Ò ÐÐÓ Ò ØÝØÝÝ ÓÐÐ { } xθ A(θ) exp +c(x,φ) = 1, φ x Ñ ÑÖ ØØ Ð A(θ) Ò c(x,φ) Ò ÚÐ ÐÐ Ø ØÝÒ Ý Ø Ý Òº À ÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ Ú Ö Ò Ò Ú ÐÐ Ú Ô Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ø Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØ µ = E θ (X) = A (θ) Var(X;θ) =φa (θ) =φ E(X;θ) = φv(µ). θ ÌÑ ÓÒ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò ÓÒØ Ñ ÐÐ Ò ÙÙÖ Ò ØÙ Ý ÑÔÒ Ñ ÐÐ Ò ½½º º¾µ Ú ÖÖ ØØÙÒ º

23 ½½º º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ô Ö ½ ÃÝØÒÒ ÙÒ Ø Ó A(θ) ÒÒ Ø Ò Ñ ÐÐ ½½º º µ ÔÐ ØØ Ø ÙÒ Ø ÙÒ Ø Ó c(x,φ) Ø ØÒ Ø Ú ÐÐ Ø Ø Ö ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑØغ ÌÑ ÓÐ ÓÒ ÐÑ Ò Ò Ù Ò Ù Ò ÓÒ Ý Ú Ò θ Ò Ø ÑÓ ÒÒ Ø Ó Ô ¹ Ø ÙÒ Ø Ó Ö ÔÙ c(x,φ) Ø º Ë Ò Ò φ Ò Ø ÑÓ Ñ Ø ÖÚ Ø Ò Ó Ó Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº Ñ Ö ½½º½ ÆÓÖÑ Ð ÙÑ N(µ,σ 2 ) ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ ¹ Ø Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó logl(µ,σ 2 ) = xµ µ2 /2 σ logσ2 x2 2σ 2. ÆÓÖÑ Ð ÙÑ ÓÒ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Ò Ñ ÐÐ ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ¹ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ µ ÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ φ = σ 2,A(µ) = µ 2 /2 c(x,φ) = 1 logφ x2 /φº Ì c(x,φ) Ò Ð Ù ØÙÒÒ Ø Òº Ñ Ö ½½º¾¼ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÒPoi(µ) ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ logl(µ) = xlogµ µ logx!. Ì Ñ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ θ = logµ ÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ φ = 1 A(θ) = µ = e θ º È ØÑÐÐ A(θ) = e θ Ú ÓÒ Ú Ø Ð Ñ ÐÐ ÓÒ Ø Ô Ö Ñ ØÖ φ ÚÓ ¹ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÈÓ ÓÒ Ò Ñ ÐÐ Ó ÓÒ Ó Ó ÝÐ ¹ Ø Ð ÓÒØ º Ë Ñ ÐÐ Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ E(X) = µ Ò Var(X) = φa (θ) = φµ. ÙÒ Ø ÓÒ c(x,φ) ØÝØÝÝ ØÓØ ÙØØ ÒØ Ø ØØ x=0 [ xθ e θ exp φ ] +c(x,φ) = 1, ÐÐ θ φº Ñ Ö ½½º¾½ Ì Ö Ø ØØ Ò 20 ÙÙ Ò ÙØÓÒ ÓØÓ ÚÖ Ú Ó Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖ ÝØØ Ò Ø ØØÝ Ó ÐÐ Ø Ñ Ò Ø ÐѺ ÌÙÐÓ Ø Ò ÙÖ Ú Ø ÐÙ ÙÑÖØ ¼ ½¼ ½ ½ ½ ¾ ½ ½½ ¼ ¾ ¾ ¼ ¾ ¼ ½ ¼ ÇØÓ ÖÚÓ ÓÒ x = 2.55 ÓØÓ Ú Ö Ò s 2 = 9.85 Ñ Ó Ó ØØ ÝÐ ÓÒ¹ Ø º ÂÓ ÝØ ØÒ ÈÓ ÓÒ Ò ØÝÝÔÔ Ø Ñ ÐÐ Ó A(θ) = e θ Ò Ò Var θ (X) = φe θ (X). ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò φ Ø Ñ ØØ ÓÒ ˆφ = 9.84/2.55 = 3.86º Ú Ò ÐÑ Ø ÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò 1º

24 ¾¼ ÄÙ Ù ½½º È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ Å Ò Ñ Ð Ò Ò ØÝ ÒØÚÝÝ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ô Ö Å Ò Ñ Ð Ò ØÝ ÒØÚÝÝ Ò ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ ØÖ Ø ÓÖ ØØ Ò Ò Ý Ø Ý º Ä Ú Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò Ú ÐÐ Ø ØÝ ÒØÚ Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÝ ÒØÚµ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù ØÙÒÒÙ Ú ØÓÖ µ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Ú Ò Ó f θ (x) ÙÙÐÙÙ ØÝ Ø Ò ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö Òº ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ô Ö¹ Ò Ö ÒØ Ø Ø ÙÖ ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ñ Ñ ËÍ ÓÒ ØÝ ÒØÚº ÂÓ ØÝ ÒØÚ Ø Ñ ØØ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ùµ ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò ÓÒ ËÍ º